Marmara Üniversitesi
Marmara Üniversitesi Eğitim-Öğretim Bilgi Sistemi

Matematik, mühendislik ve fen öğrencilerine kısmi diferansiyel denklemlerin ve teorik analizlerin çözümü için sayısal yöntemlerle ilgili temel kavramları tanıtmak için tasarlanmış bir giriş düzeyinde lisansüstü derstir. Dersin amacı, eliptik, hiperbolik ve parabolik tipin kısmi diferansiyel denklemlerini çözmek için sayısal yöntemlerin analizine ve tasarımına giriş sağlamaktır.

-

Bu ders, modern uygulamalı matematiğin en önemli yönlerinden biri olan kısmi diferansiyel denklemlerin (PDE'ler) ayrıklaştırılmasının matematiksel teorisini ele almaktadır. Biyoloji, finans, fizik, ileri malzeme ve mühendislikte PDE tabanlı matematiksel modellerin her zamanki doğası nedeniyle, matematiksel analizlerin çoğu çalışmalarına ayrılmıştır. Modellerin karmaşıklığı, çoğu pratik durumda çözüm için formül bulmanın imkansız olduğu anlamına gelir. Bu, hesaplama PDE'lerinin konusuna yol açar. Öte yandan, sayısal çözüm anlayışı gelişmiş matematiksel analiz gerektirir. Modern uygulamalı matematik için bir paradigma, analiz, modelleme ve hesaplama arasındaki sinerjidir. Bu ders, matematiksel teori ve sayısal yöntemler arasındaki etkileşimi vurgulamak için tasarlanmış PDE'lerin sayısal analizine bir giriş niteliğindedir. Aşağıdakileri konuları içerir: 1. PDE'lerin tanıtımı ve sınıflandırılması. 2. Parabolik problemler - difüzyon veya konveksiyon-difüzyon denklemleri. Sonlu farklar yöntemi temelleri: yakınsaklık, kararlılık ve tutarlılık, von Neumann kararlılık analizi ve Fourier dönüşümleri. Hatların yöntemleri - zaman ayrıklaştırma şemaları (açık, kapalı yöntemler vb.). Yüksek mertebeden doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için sayısal yöntemler. 3. Eliptik problemler - iki nokta sınır değer problemleri, Laplace ve Poisson denklemleri. Sonlu elemanlar yönteminin temelleri: varyasyonel formülasyon, enterpolasyon teorisi, kareleme, enerji normu, a priori yakınsaklık, yakınsaklık sırası. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için yinelemeli yöntemlere kısa bir bakış. Parabolik PDE revisiti. Parabolik PDE'yi çözmek için sonlu elemanlar. 4. Hiperbolik problemler - adveksiyon denklemi, doğrusal olmayan hiperbolik koruma yasaları, karakteristikler yöntemi, kararlılık, CFL koşulu, yakınsama. Sonlu hacim yöntemi temelleri: LF, LW, TVD, MUSCL, ENO / WENO. Konveksiyon baskın problemler için süreksiz Galerkin sonlu elemanlar yöntemi. 5. Zamanın izin verdiği çeşitli konular - çok taneli, spektral yöntemler.

Pratik organizasyonda, grup projelere büyük önem verilecektir. Bir problem çözme yaklaşımına odaklanmak için esneklik vurgulanacaktır.

yok

Türkçe

1. K. E. Atkinson and W. Han, Theoretical Numerical Analysis: A Functional Analysis Framework (2nd Ed.), Springer (2005). 2. J. Stoer and R. Bulrisch, Introduction to Numerical Analysis (2nd Ed.), Springer (1993). 3. E. S¨uli and D. F. Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press (2003). 4. G. Dahlquist and A. Bj¨orck, Numerical Methods in Scientific Computing, SIAM (2007). 5. P. Linz, Theoretical Numerical Analysis, John Wiley (1979). 6. A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer (2000). 7. K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis (2nd Ed.), John Wiley (1989). 8. J.W. Thomas, Introduction to Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer, ISBN 0-387-97999-9 9. J.W. Thomas, Numerical Partial Differential Equations: conservation laws and elliptic equations, Spring. ISBN 0-387-98346-5 10. Zhangxin Chen, Finite element methods and their applications, Springer

yok

• Bu modülü başarıyla alan öğrenciler, farklı türdeki pde'lerin takdir yetkisi ile ilgili sorunların farkında olmalıdırlar,
• ayrıklaştırmada kullanılan sonlu elemanlar ve sonlu fark yöntemleri hakkında bilgi sahibi olur
• Sonlu elemanlar ve sonlu farklar yöntemleri kullanarak eliptik kısmi diferansiyel denklemine uygulayabilme
• belirli alanlarda eliptik, parabolik ve hiperbolik denklemlere ayrık yaklaşım için kararlılık ve hata analizi yapabilir.
• bu ders öğrencilere bilimsel hesaplamada yaygın olarak ihtiyaç duyulan çeşitli matematiksel analiz türlerini tanıtır